线性代数中的矩阵的几何意义以及消元法

先考虑2维空间

设有2条直线

A:2x+3y=0
B:3x+3+3y=0

将两个函数的系数提取出来，分别放在两个矩阵里，构成矩阵向量
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$x [\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}] + y [\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ - 3 \end{matrix}]$

根据上述矩阵画出对应的向量，通过改变x,y来实现将2个向量组合成等号右边的向量
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对向量平移变换可以求出（-3，2）为方程的解
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设有3个未知数

2x+3y+2z=2
3x+2y=6
6x+2y+3z=1

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依照2维写出对应矩阵
$x [\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}] + y [\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}] + Z [\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 1 \end{matrix}]$

画出对应向量，通过构造来解。
可以解的前提是三个矩阵向量不在同一个平面内，（如果在一个平面内还如何表示平面外的向量），当然还有其他的解法，不然一个一个试不带疯掉。由此引出我们的下个目标：矩阵消元法

矩阵消元法：

我感觉其本质是两项相减去一未知量，直至减为只剩下一个未知量
根据上面的矩阵将其写为行的形式
$[\begin{matrix} x & y & z \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 \\ 6 \\ 1 \end{matrix}]$

之后利用消元法求解：


X1    X2    X3    b
1    6    9    6    2
2    6    4    0    12
3    6    2    3    1
把第1行除以6得到第1列的主元

X1    X2    X3    b
1    1    3/2    1    1/3
2    6    4    0    12
3    6    2    3    1
消除第1列

X1    X2    X3    b
1    1    3/2    1    1/3
2    0    -5    -6    10
3    0    -7    -3    -1
把第2行除以-5得到第2列的主元

X1    X2    X3    b
1    1    3/2    1    1/3
2    0    1    6/5    -2
3    0    -7    -3    -1
消除第2列

X1    X2    X3    b
1    1    0    -4/5    10/3
2    0    1    6/5    -2
3    0    0    27/5    -15
把第3行除以27/5得到第3列的主元

X1    X2    X3    b
1    1    0    -4/5    10/3
2    0    1    6/5    -2
3    0    0    1    -25/9
消除第3列

X1    X2    X3    b
1    1    0    0    10/9
2    0    1    0    4/3
3    0    0    1    -25/9