逆矩阵求法

有如下矩阵：
$$\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 5\end{array}\right]$$

矩阵A的逆矩阵A'可以根据高斯消元法计算
A x A' = I
$$\left[\begin{array}{cc}& \\ & \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

将A与单位矩阵合并：
$$\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 0\\ 3& 5& 0& 1\end{array}\right]$$

合并后根据高斯消元法计算：

你的矩阵

A1    A2
1    2    1
2    3    5
行列式不为零，所以矩阵的逆存在

很详细的解法  
写出增广矩阵

A1    A2    B1    B2
1    2    1    1    0
2    3    5    0    1
把第1行除以2得到第1列的主元

A1    A2    B1    B2
1    1    1/2    1/2    0
2    3    5    0    1
消除第1列

A1    A2    B1    B2
1    1    1/2    1/2    0
2    0    7/2    -3/2    1
把第2行除以7/2得到第2列的主元

A1    A2    B1    B2
1    1    1/2    1/2    0
2    0    1    -3/7    2/7
消除第2列

A1    A2    B1    B2
1    1    0    5/7    -1/7
2    0    1    -3/7    2/7
右边是逆矩阵

A1    A2    B1    B2
1    1    0    5/7    -1/7
2    0    1    -3/7    2/7

原理：A'[A I] = [I A']
先将A矩阵扩展扩展后消元，消元时将矩阵左边变换为单位矩阵，这样右边矩阵为A'